Funktionenschar
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Kurvenuntersuchung
Achsenschnittpunkte
Wir definieren
\( \quad \begin{array}{ r c l } f_6(x) & = & (x -3) \cdot \left(x^2 - 6 \cdot x - \frac{6}{2}\right) \\[6pt] & = & (x -3) \cdot \left(x^2 - 6x - 3\right) \\ \end{array} \)
\(\\\)
als \(f(x)\) mit
\(\\\)
Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ermitteln wir mit
\(\\\) Wir erhalten \(S_y(0|9)\).
\(\\\)
Für die Nullstellen gilt die Bedingung \(f(x)=0\) :
\(\\\)
Wir erhalten mit
\( \quad -\left( 2 \cdot \sqrt{3}-3 \right) \approx -0{,}46 \)
und
\( \quad2 \cdot \sqrt{3}+3\approx 6{,}46 \)
\(\\\)
die Nullstellen:
\( \quad \begin{array}{ l } N_1(3|0) \\[6pt] N_2(-0{,}46|0) \\[6pt] N_3(6{,}46|0) \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Extrempunkte
notwendige Bedingung
Für Extrempunkte gilt, dass \(f'(x)=0\) ist.
Wir brauchen zunächst die Ableitung. Zu den Ableitungen kommen wir mit der Auswahl links neben dem Buchsymbol mit dem Werkzeug
\(\\\) oder alternativ mit der Auswahl \(\textit{menu}\)
\(\\\) oder kurz mit der Tastenkombination \(\textit{menu} \; \rightarrow \; 4 \; \rightarrow \; 1\)
\(\\\)
Wir definieren nun die 1. Ableitung und berechnen die Gleichung.
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
Es gilt \(f''(x) \not= 0\).
Wir verwenden als 2. Ableitung \(f2(x)\) und überprüfen \(f2(1)\) und \(f2(5)\) :
\(\\\)
Wir erhalten also
\( \quad \begin{array}{ r c l l } f2(1)<0 & \Rightarrow & \textit{Hochpunkt bei} & x=1 \\[6pt] f2(5)>0 & \Rightarrow & \textit{Tiefpunkt bei} & x=5 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Funktionswert
Die \(y\)-Werte ermitteln wir mit
\(\\\)
Die Extrempunkte liegen also bei \(H(1|16)\) und \(T(5|-16)\) .
\(\\[1em]\)
Skizze
Die Koordinatenschnittpunkte und Extrempunkte genügend eigentlich, um die Skizze anzufertigen. Wer möchte, kann sich dennoch den Graphen im TI-Nspire anzeigen lassen und die Wertetabelle erstellen in folgender Art und Weise:
-
Graph anzeigen
Zum Zeichnen des Graphen kopieren wir den Funktionsterm mit kopieren
und gehen in den Graphikbereich
und fügen dort den Term mit einfügen ein.
Mit menu gehen wir in Fenster/Zoom und Fenstereinstellungen
und passen den Zeichenbereich mit XMin, XMax, YMin und YMax folgendermaßen
an.
\(\\\)
-
Wertetabelle
Mit menu und Tabelle mit geteiltem Bildschirm blenden wir die Wertetabelle ein
und übertragen die Punkte in die Abbildung.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – gemeinsame Punkte der Graphen
Wir wählen 2 Funktionen der Schar mit \(k=a\) und \(k=b\), mit \(a,b \in \mathbb{R}\) und \(a \not=b\). Die Schnittpunkte dieser Funktionen
\( \quad f_a(x) = (x - 3) \cdot \Big( x^2 - a \cdot x - \frac{a}{2} \Big) \)
\(\\\) und
\( \quad f_b(x) = (x - 3) \cdot \Big( x^2 - b \cdot x - \tfrac{b}{2} \Big) \)
\(\\\)
sind die Schnittpunkte aller Graphen der Schar, da \(f_a\) und \(f_b\), die verschieden voneinander sind, stellvertretend für beliebige Funktionen der Schar stehen.
\(\\\) Wir definieren \(f_a(x)\) mit \(u(x)\)
\(\\\)
und \(f_b(x)\) mit \(v(x)\)
\(\\\)
Wir ermitteln die Schnittpunkte mit
\( \quad \begin{array}{ r c l l } a -b & = & 0 & | +b \\[6pt] a & = & b & \\ \end{array} \)
\(\\\) haben wir mit unserer Voraussetzung ausgeschlossen. Es verbleiben \(x=3\) und \(x=-\frac{1}{2}\), was wir in unserer Skizze bei den Graphen \(G_1\) und \(G_6\) bestätigt sehen.
\(\\\)
Wir berechnen die \(y\)-Werte, indem wir die \(x\)-Werte in \(u(x)\) oder \(v(x)\) einsetzen:
\(\\\) Wir erhalten den Punkt \(P_1(3|0)\), der ja auch schon als Nullstelle von \(f_k(x)\) berechnet wurde, und den Punkt \(P_2\left(-\frac{1}{2}|-\frac{7}{8}\right)\) .
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Extrempunkte der Schar
Wir definieren \(f_k(x)\) als \(g(x)\):
\(\\\)
notwendige Bedingung
Es gilt: \(g'(x)=0\)
Wir definieren die 1. Ableitung als \(g1(x)\)
und lösen die Gleichung \(g1(x)=0\) .
Damit die Extremstellen für alle \(k\) gelten, darf die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel, nicht negativ sein. Wir überprüfen dies mit
Die Extremstellen lassen sich für alle \(k \in \mathbb{R}\) berechnen. Das heißt, dass Extremstellen existieren.
Wir überprüfen weiter, ob die Diskriminante Null sein kann.
Es gibt also nicht nur eine Lösung.
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
Es gilt \(f''(x) \not= 0\). Wir verwenden als 2. Ableitung \(g2(x)\)
und überprüfen die \(x\)-Werte mit der 2. Ableitung.
Da
\( \quad 2 \cdot\left(2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18 \right) \)
stets positiv ist, ist
\( \quad \begin{array}{ c c c c c } g''\left(\frac{-\big( \sqrt{2 \cdot (2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18)} - 2 \cdot (k+3) \big)}{6} \right) & = & -\sqrt{2 \cdot (2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18)} & < & 0 \qquad \textit{ein Hochpunkt}\\[8pt] g''\left(\frac{ \sqrt{2 \cdot (2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18)} + 2 \cdot (k+3)}{6} \right) & = & \sqrt{2 \cdot (2 \cdot k^2 - 3 \cdot k + 18)} & > & 0 \qquad \textit{ein Tiefpunkt} \\ \end{array} \)
Damit hat \(G_k\) also für jeden Wert von \(k \in \mathbb{R}\) genau zwei Extrempunkte.
\(\\[1em]\)
Funktionswert
Mit
\(\\\) erhalten wir den Punkt \(\left( 2 \big| \frac{4}{r}+2 \right)\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Wendepunkt
notwendige Bedingung
Für den Wendepunkt gilt, dass \(g''(x)=0\) ist.
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
Es gilt \(g'''(x) \not= 0\). Wir verwenden als 3. Ableitung \(g3(x)\) und überprüfen die \(x\)-Werte mit der 3. Ableitung.
\(\\[1em]\)
Funktionswert
Den \(y\)-Werte ermitteln wir mit
\(\\\)
Der Wendepunkt liegt also bei
\( \quad W\Big(\frac{k+3}{3} \biggl| \frac{-(k-6) \cdot \left(4 \cdot k^2 + 15 \cdot k - 18 \right)}{54} \Big) \) .
\(\\[1em]\)
Wendepunkt auf der y-Achse
Liegt der Wendepunkt \(W\left(x_w|y_w\right)\) auf der \(y\)-Achse, so gilt:
\( \quad x_w = \frac{k+3}{3} = 0 \)
\(\\[1em]\)
Wendepunkt auf der x-Achse
Liegt der Wendepunkt \(W\left( x_w|y_w \right)\) auf der \(x\) -Achse, so gilt:
\( \quad y_w = \frac{-(k-6) \cdot \left(4 \cdot k^2 + 15 \cdot k - 18 \right)}{54} = 0 \)
\(\\\)
Für
\( \quad \begin{array}{ r c l } k_1 & = & -3 \\[6pt] k_2 & = & 6 \\[6pt] k_3 & = & \frac{-3 \cdot \left( \sqrt{57}+5 \right)}{8} \approx -4{,}70619 \\[6pt] k_4 & = & \frac{3 \cdot \left( \sqrt{57}-5 \right)}{8} \approx 0{,}956188 \\ \end{array} \)
\(\\\)
liegen die Wendepunkte auf den Koordinatenachsen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 5 – kleinster Winkel
Alle Graphen von \(G_k\) verlaufen von links unten nach rechts oben, da \(f_k\) eine positive Funktionenschar dritten Grades ist. Das bedeutet, die Wendetangente stets fallend ist.
Damit der Winkel zwischen der Tangente und der \(x\)-Achse möglichst klein ist, muss der Betrag der Tangentensteigung möglichst klein sein.
\(\\[1em]\)
Minimum der Tangentensteigung
Die Tangentensteigung \(m\) wird berechnet mit der 1. Ableitung von \(g\) . Im Wendepunkt gilt
\( \quad m = m(k) = f_k'\left( \frac{k+3}{3} \right) \)
\(\\\)
Wir berechnen den Ausdruck von \(m(k)\) mit
\(\\\)
und definieren \(m(k)\) mit dem Betrag dieses Ausdrucks. Dazu verwenden wir diese Funktion:
\(\\[1em]\)
notwendige Bedingung
Für die betragsmäßig minimale Tangentensteigung muss gelten \(m'(k) = 0\) . Wir definieren die 1. Ableitung und lösen die Gleichung.
\(\\[1em]\)
hinreichende Bedingung
Damit ein Minimum vorliegt muss gelten, dass \(m''(k) > 0\). Wir überprüfen dies für \(k=\frac{3}{4}\) .
\(\\[1em]\)
Winkelberechnung
Es gilt
\( \quad tan(\alpha) = m \)
\(\\\)
Wir berechnen die Steigung für \(k=\frac{3}{4}\) :
\(\\\)
Wir erhalten damit
\( \quad \begin{array}{ r c l } tan(\alpha) & = & m\left( \frac{3}{4}\right) \\[8pt] tan(\alpha) & = & \frac{45}{16} \\[8pt] \alpha & = & tan^{-1}\left(\frac{45}{16}\right) \\[6pt] \alpha & = & 70{,}4269 \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 6 – Rotationskörper
\(\\\) Die Flächen \(A_1\) und \(A_2\) rotieren um die \(x\)-Achse. Die Volumen der dabei entstehenden Rotationskörper berechnen wir mit der Formel
\( \displaystyle{V = \pi \cdot\int_a^b \big(f(x)\big)^2 dx} \)
\(\\\) Beide Rotationskörper haben jeweils das Volumen von \(\frac{15471 \cdot \pi}{35} \approx 1388{,}67 \; VE\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 7 – Aussage
Rotieren die beiden rechteckigen Flächen von gleicher Größe um die \(x\)-Achse,
\(\\\) so entstehen dabei zwei Rotationskörper, mit verschieden großen Volumen.
\(\quad\)
\(\\\) Wie man leicht erkennen kann, liegt der Grund für die verschiedene Größe im Abstand der Fläche zur Rotationsachse, also der \(x\)-Achse. Genauer gesagt ist es der Abstand zur \(x\)-Achse des Schwerpunktes \(S\) der Flächen, der den gemittelten Radius darstellt. Die Aussage gilt also nur, falls dieser Abstand bei beiden Flächen gleich ist. Damit ist die Aussage nicht allgemeingültig und folglich falsch.
\(\\\)